REGRAS DE COMBINAÇÃO DE INCERTEZAS PARA FUGIR DAS TÃO TEMIDAS DERIVADAS PARCIAIS DOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE

COMBINAÇÃO DE INCERTEZAS SEM USAR COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE

Nesta postagem, vou continuar falando do mesmo assunto de minha postagem anterior: incerteza de medição. Abordarei agora um aspecto, que em todas as consultorias e cursos que forneço nessa área, como o último, que minitrei recentemente na RIO METROLOGIA,é alvo de grande questionamento por parte das pessoas. É considerado por muitos uma das etapas mais complexas, senão a mais complexa, do procedimento de determinação de incerteza.

Trata-se dos chamados “coeficientes de sensibilidade”, necessários para que tenhamos todos os componentes de incerteza expressos em uma mesma unidade de medida, a mesma do mensurando, para que possamos então, combiná-los e chegar ao valor da incerteza combinada da medição.

Essa operação é considerada complexa por envolver a derivação parcial do mensurando em relação a cada um dos componentes da incerteza. Derivadas e integrais são cálculos que costumam assustar as pessoas.

C_{sensibilidade}= ∂mensurando/∂componente 

Felizmente, em muitos casos, conseguimos fazer a combinação dos componentes da incerteza, sem precisar calcular os coeficientes de sensibilidade e consequentemente, as tão “temidas” derivadas parciais.

Isso é possível quando o mensurando é definido por uma equação matemática, o que ocorre, no caso de medições indiretas, onde a grandeza medida não é a grandeza que desejamos determinar e cuja incerteza precisamos estimar. A grandeza de interesse é uma função da grandeza medida. Para chegarmos a ela, é necessário submetermos a grandeza medida a um processamento matemático, definindo assim, uma equação para o cálculo da grandeza de interesse a partir da grandeza medida.

Grandeza de interesse= Y = f(x), onde x é a grandeza medida.

Esse tipo de situação é bem comum, especialmente na área de química, onde a grande maioria das medições é indireta.

Um dos termos da equação definida para o cálculo do valor da grandeza de interesse logicamente é a grandeza medida, relacionada através de operações matemáticas com outras grandezas e parâmetros, que por sua vez, também estão relacionados entre si por operações matemáticas.

A incerteza combinada da grandeza de interesse será assim, a combinação das incertezas das grandezas que compõem a equação.

Dependendo da operação matemática através das quais as grandezas estão relacionadas na equação, é possível se estabelecer uma fórmula específica para a combinação de suas incertezas.

Com base nisso, foram criadas as chamadas “Regras de Combinação de Incertezas”. 

Elas definem fórmulas diferentes para a determinação da incerteza combinada, conforme a operação matemática através da qual, as grandezas, cujas incertezas vamos combinar, estão relacionadas. Há uma fórmula específica para cada operação matemática básica, como vemos a seguir: 

• ADIÇÃO ou SUBTRAÇÃO: Quando uma grandeza (Y) é expressa em função de outras (A e B), através de expressões do tipo:

Y= A + B              ou          Y= A - B,

    A combinação das incertezas de A e B para se obter a incerteza combinada de Y é feita através da seguinte fórmula:

• MULTIPLICAÇÃO ou DIVISÃO: Quando uma grandeza (Y) é expressa em função de outras (A e B), através de expressões do tipo:

Y= A x B              ou          Y= A/B,

           A combinação das incertezas de A e B para se obter a incerteza combinada de Y é feita através da seguinte fórmula:

• POTENCIAÇÃO: Quando uma grandeza (Y) é expressa em função de outras (A e B), através de uma expressão do tipo:

Y= A^B   

A combinação das incertezas de A e B para se obter a incerteza combinada de Y é feita através da seguinte fórmula:

A aplicação direta dessas fórmulas, definidas por tais regras, facilitam bastante a determinação da incerteza combinada de uma grandeza, poupando-nos do cálculo de derivadas parciais.

           Na prática, as equações que expressam uma grandeza em função de outras não costumam envolver uma única operação matemática entre apenas duas grandezas, mas sim, um número maior de grandezas relacionadas entre si por diferentes operações matemáticas. Isso não impede o uso das regras acima apresentadas e suas respectivas fórmulas. Basta combinarmos corretamente as fórmulas, conforme as grandezas e as operações matemáticas entre elas observadas na equação de cálculo da grandeza, cuja incerteza combinada queremos determinar.

Por exemplo:

             Estamos interessados na incerteza combinada de uma grandeza G que é calculada a partir das grandezas L, J, K e M, por meio da seguinte expressão:

Temos que considerar separadamente, cada operação matemática entre 2 grandezas, existente na equação de cálculo da grandeza G:

G1= J + K

G2= L x M

G3= G1/G2

Depois, é só aplicar a cada uma delas, a fórmula de combinação de incertezas, correspondente à operação envolvida em cada caso:

• G1 é uma ADIÇÃO:

       G1 = J + K, então:

• G2 é uma MULTPLICAÇÃO:

     G2= L x M, logo:

• G3 é uma DIVISÃO:

       G3= G1/G2. Portanto:

Um grande abraço a todos e Feliz Páscoa!

Luiz Ramalho

DÚVIDA SOBRE A CONTRIBUIÇÃO DA MASSA PARA A INCERTEZA DE UMA MEDIÇÃO

PORQUE MUITAS VEZES TEMOS QUE CONSIDERAR DUAS VEZES A CONTRIBUIÇÃO DA MASSA PARA A INCERTEZA DE MEDIÇÃO?

Após algo que já me foi questionado diversas vezes, tanto pelo pessoal dos laboratórios a que presto consultoria, como por participantes dos cursos que eu dou , ter me sido mais uma vez questionado, no último curso de determinação de incerteza de medição que ministrei, ocorrido no início deste mês, resolvi escrever esta postagem esclarecendo tal questão, pois me parece ser, uma dúvida que muita gente tem.

As pessoas têm dificuldade de entender porque na determinação da incerteza de algumas medições em que a massa é uma das fontes de incerteza, a contribuição desse fator precisa ser considerada duas vezes.

Isso ocorre quando adotamos um procedimento de pesagem, bastante comum em laboratórios químicos, no qual, primeiramente, taramos a balança com um recipiente, para depois, pesarmos dentreo dele, o material que efetivamente desejamos pesar.

Tal procedimento de pesagem é chamado de PESAGEM POR DIFERENÇA, pois a massa do material pesado é a diferença entre a massa total e a massa do recipiente, no interior do qual, o material é colocado, conforme descrito abaixo:

massa_total= massa_recipiente + massa_material   =>

massa_material= massa_total – massa_recipiente

Como sabemos, a tara prévia da balança, com o recipiente, serve justamente para essa dedução da massa do mesmo. A massa do frasco é medida e assumida como zero. Portanto, quando, em seguida, pesamos o material dentro dele, a massa medida é exclusivamente a do produto.

Sendo assim, essel procedimento de pesagem envolve duas medições de massa independentes: a tara, em que é medida a massa do frasco e desconsiderada, e posteriormente, a medição da massa do material pesado no interior do mesmo. Cada medição independente tem sua incerteza, portanto, a medição da massa do recipiente na tara da balança tem sua incerteza e a pesgaem do material, tem também a sua..

Dessa forma, é por isso que a incerteza associada a esse procedimento deve ser contabilizada duas vezes, uma, para cada medição de massa efetuada: a tara e a pesagem do material.

Espero que tenham entendido.

Abraços a todos!

Luiz

CONTINUANDO A DISTINGUIR CONCEITOS MUITO CONFUNDIDOS PELAS PESSOAS E APROVEITANDO PARA ESCLARECER DÚVIDAS DE UMA CLIENTE

INTERVALO DE CONFIANÇA x NÍVEL DE CONFIANÇA x NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA



Alguns dias atrás, uma engenheira de um laboratório de ensaios da Universidade do Estado do Rio de Janeiro, que atendo com treinamento e consultoria, entrou em contato comigo, buscando algumas informações sobre a distribuição estatística t de Student.

Dentre elas: Por que, em geral, trabalhamos com um nível de confiança de ≈ 95% (95,45%), nas estimativas de valores que fazemos a partir de um conjunto de dados obtidos experimentalmente, como no caso das determinações de incerteza de medição? Poderíamos adotar um outro nível de confiança? Como o determinaríamos?

Esclareci de pronto, as dúvidas mais urgentes da engenheira e deixei para esclarecer as outras aqui no blog, já que dentro desse trabalho que venho desenvolvendo em minhas últimas postagens, de esclarecimento de conceitos que percebo que as pessoas costumam confundir, eu já tinha a intenção de distinguir NÍVEL DE CONFIANÇA de INTERVALO DE CONFIANÇA, bem como, NÍVEL DE CONFIANÇA de NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA, que são conceitos muito confundidos.

Vamos lá, então!

Definirei agora, exatamente cada um desses três conceitos, usando para isso, a distribuição t DE STUDENT e esclarecerei as dúvidas de minha cliente a respeito desta, que ainda não sanei. Para tanto, irei abordar também alguns outros conceitos relacionados.

ESTIMATIVA PONTUAL e ESTIMATIVA INTERVALAR

Quando fazemos uma estimativa do valor de um parâmetro, podemos fazer uma única estimativa, ou melhor, estimar um único valor, para o mesmo ou estimar um intervalo de valores possíveis, no qual se admite que o parâmetro está.

No primeiro caso, fazemos uma ESTIMATIVA PONTUAL do valor do parâmetro. No segundo, que é mais comum, fazemos uma ESTIMATIVA INTERVALAR do valor do parâmetro.

Por exemplo, o resultado que fornecemos para qualquer medição que executamos, é uma ESTIMATIVA INTERVALAR do valor da grandeza medida. Não é possível fazermos uma ESTIMATIVA PONTUAL do valor da mesma, já que nenhuma medição é perfeita. Toda medição sempre apresenta erro, que gera uma dúvida quanto ao valor preciso da grandeza mensurada. Essa dúvida, sempre existente, é retratada pela INCERTEZA DE MEDIÇÃO, que constitui o intervalo de valores em que assumimos que o valor real daquilo que medimos se encontra.

Assim sendo, devemos expressar sempre, da forma abaixo, o resultado de toda medição que executarmos:

Resultado da medição= valor mais provável da grandeza (valor médio das replicatas testadas) ± incerteza de medição= VM ± U

NÍVEL DE CONFIANÇA X INTERVALO DE CONFIANÇA

Ao fazermos uma ESTIMATIVA INTERVALAR de um valor, determinamos, como acabamos de ver, um intervalo de valores, no qual afirmamos que o valor preciso está, mas, com uma determinada margem de erro. Esta margem de erro é expressa pelo nível de probabilidade do valor preciso estar nesse intervalo que definimos.

Esse nível de probabilidade é o NÍVEL DE CONFIANÇA do intervalo definido e essse intervalo é o INTERVALO DE CONFIANÇA.

O NÍVEL DE CONFIANÇA é assim, o nível de probabilidade do valor preciso estar dentro de um dado INTERVALO DE CONFIANÇA e é expresso pelo percentual que exprime essa probabilidade.

DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA t DE STUDENT     

Valores obtidos experimentalmente, como por exemplo, em medições, usualmente apresentam uma DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA NORMAL ou alguma outra, derivada dela.

A definição e o uso de outras distribuições estatísticas derivadas da DISTRIBUIÇÃO NORMAL para valores experimentais se fazem necessários porque a DISTRIBUIÇÃO NORMAL foi definida para um número infinito de dados (ESTATÍSTICA POPULACIONAL) e experimentalmente, obtemos um número finito de valores, originados do número finito de amostras que testamos, ou seja, de replicatas que executamos (ESTATÍSTICA AMOSTRAL). Utilizamos inclusive, o menor número de amostras/replicatas que for possível, para agilizar ao máximo, a execução do experimento.

As distribuições derivadas da normal descrevem melhor a distribuição, ao longo de um intervalo, de um número finito de valores. Por isso, para dados experimentais obtidos de um número de replicatas (chamado de TAMANHO DE AMOSTRA) < 30, adotamos a distribuição estatística t DE STUDENT. Ela descreve bem a distribuição dos "n" valores <30, que obtemos nessas replicatas, ao longo do intervalo que estimamos para os mesmos, que é o INTERVALO DE CONFIANÇA, onde o real valor está contido, com um determinado nível de probabilidade, que é o NÍVEL DE CONFIANÇA.

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL, bem como, suas derivadas, portanto, a t DE STUDENT, são distribuições simétricas. A área da curva que usamos para representá-las, que tem forma de sino, representa o intervalo de confiança máximo onde o valor estará, com um nível de confiança de 100%. 

Frações dessa área sob a curva da distribuição representam um intervalo de confiança com um nível de confiança < 100%, ou seja, com uma probabilidade menor que 100%, do valor preciso estar dentro dele. O percentual que representa a probabilidade do valor preciso estar contido num dado pedaço da área sob a curva expressa o nível de confiança daquele intervalo de confiança.

Sendo a distibuição normal e todas as distribuições derivadas dela, simétricas, a área sob suas curvas também é. Como o INTERVALO DE CONFIANÇA é um pedaço da área sob a curva da distribuição estatística dos dados, assim como ela, também é sempre simétrico.

Seu centro é a média dos "n" valores determinados experimentalmente e constitui o valor mais provável do parâmetro ou grandeza que estivermos determinando. A extensão do intervalo é medida em números de desvios padrão desses "n" valores em relação à sua média, já que representa o grau de dispersão dos valores, cujo parâmetro estatístico que mede é o desvio padrão dos mesmos.

OUTROS NÍVEIS DE CONFIANÇA ALÉM DO DE ≈ 95% (95,45%)

Temos assim, diferentes INTERVALOS DE CONFIANÇA possíveis, cada um deles, correspondente a um determinado número de desvios padrão em que os valores estão dispersos em torno do valor central (média), igualmente abaixo e acima do mesmo, devido à simetria.

Cada um desses diversos INTERVALOS DE CONFIANÇA possíveis tem seu NÍVEL DE CONFIANÇA. Portanto, também temos diferentes NÍVEIS DE CONFIANÇA possíveis, um para cada intervalo possível. 

Na distribuição t de Student, destacam-se três INTERVALOS DE CONFIANÇA e seus respectivos NÍVEIS DE CONFIANÇA:

- Um intervalo de 1 desvio padrão acima e abaixo da média dos dados, que tem um nível de confiança de ≈ 90%.

- Um intervalo de 2 desvios padrão acima e abaixo da média dos dados, que é o que em geral, usamos, com um nível de confiança de ≈ 95%.
- Um intervalo de 3 desvios padrão acima e abaixo da média dos dados, que tem um nível de confiança de ≈ 99%.

PORQUE O NÍVEL DE CONFIANÇA DE ≈ 95% (95,45%) É O QUE USUALMENTE EMPREGAMOS?

A razão é o fato de ser ele o nível de confiança que melhor representa o equilíbrio entre a dispersão dos valores (largura do intervalo de confiança) e a confiabilidade estatística do intervalo determinado (nível de confiança).

NÍVEL DE CONFIANÇA X NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA

O NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA de um INTERVALO DE CONFIANÇA é o complemento de seu NÍVEL DE CONFIANÇA, ou seja, é a diferença percentual entre este e 100% (NÍVEL DE CONFIANÇA DA ÁREA TOTAL SOB A CURVA).

Representa assim, o percentual da área total sob a curva correspondente às duas partes iguais da mesma, uma de cada lado, não incluídas no INTERVALO DE CONFIANÇA considerado.

Espero ter conseguido diferenciar claramente os três conceitos e vocês não os confundam mais. Também espero tê-los feito compreender melhor outros conceitos que abordei aqui e espero ainda ter sido capaz de esclarecer as dúvidas ainda pendentes de minha cliente.

Tudo o que foi abordado nesta postagem é discutido com um nível maior de detalhamento nos cursos de Estatística para Laboratórios e de Quimiometria (Estatística Aplicada a Medições Químicas) e também de Determinação de Incerteza de Medição que ministro. Quem sabe não terei o prazer de tê-los como alunos em um desses meus cursos e poder lhes ainda mais e melhor esses e outros conceitos.

Abraços a todos!

Luiz Ramalho

          

            

WEBSEMINAR (SEMINÁRIO VIA INTERNET) INTERESSANTE

WEBSEMINAR: "INCERTEZA DE MEDIÇÃO EM TITULAÇÃO"

Alô, meus amigos e clientes das áreas de ensaios químicos, biológicos, análises clínicas e afins!

Como sempre faço, toda vez que fico sabendo de alguma dica ou informação interessante para meus clientes e leitores do meu blog, a divulgo aqui.

Tomei conhecimento hoje no LINKEDIN que a famosa e conceituada empresa Mettler Toledo estará promovendo um seminário via internet (webseminar) no próximo dia 14, às 11:00h, sobre um tema que, com total certeza, é do interesse dos profissionais das áreas acima mencionadas.

O seminário tratará de determinação de incerteza de medição em titulações. Tema super interessante!

Eu mesmo já me inscrevi.

Se você deseja participar também, você encontra maiores informações sobre o evento e pode inscrever-se no mesmo no seguinte link:

Avaliação da incerteza de medição em titulação

Caso participe, nos encontramos lá, então, ainda que virtualmente.

Espero que tenha sido uma boa dica.

Abraços a todos!

Luiz Ramalho